Родился в Цвиккау (Саксония) 8 июня 1810 года в семье книгоиздателя и писателя Августа Шумана (1773—1826). Первые уроки музыки Шуман брал у местного органиста; в возрасте 10 лет начал сочинять, в частности хоровую и оркестровую музыку. Посещал гимназию в родном городе, где познакомился с произведениями Дж. Байрона и Жан Поля, став их страстным поклонником. Настроения и образы этой романтической литературы со временем отразились в музыкальном творчестве Шумана. В детстве он приобщился к профессиональной литературной работе, составляя статьи для энциклопедии, выходившей в издательстве его отца. Серьёзно увлекался филологией, выполнял предыздательскую корректуру большого латинского словаря. А школьные литературные сочинения Шумана написаны на таком уровне, что были посмертно изданы в качестве приложения к собранию его зрелых журналистских трудов. В определенный период юности Шуман даже колебался, избрать ли ему поприще литератора или музыканта.
В 1828 году он поступил в Лейпцигский университет, а в следующем году перешёл в университет Гейдельберга. Он по настоянию матери планировал стать юристом, но музыка всё больше затягивала юношу. Его влекла идея стать концертирующим пианистом. В 1830 году он получил разрешение матери полностью посвятить себя музыке и вернулся в Лейпциг, где надеялся найти подходящего наставника. Там он начал брать уроки фортепиано у Ф. Вика и композиции у Г. Дорна. Стремясь стать настоящим виртуозом, он занимался с фанатичным упорством, но именно это и привело к беде: форсируя упражнения с механическим устройством для укрепления мышц руки, он повредил правую руку. Средний палец перестал действовать и, несмотря на длительное лечение, рука навсегда сделалась неспособной к виртуозной игре на фортепиано. Мысль о карьере профессионального пианиста пришлось оставить. Тогда Шуман серьёзно занялся композицией и одновременно музыкальной критикой. Найдя поддержку в лице Фридриха Вика, Людвига Шунке и Юлиуса Кнорра, Шуман смог в 1834 году основать одно из влиятельнейших музыкальных периодических изданий — «Новый музыкальный журнал», (нем. Neue Zeitschrift für Musik) который на протяжении нескольких лет редактировал и регулярно публиковал в нём свои статьи. Он зарекомендовал себя приверженцем нового и борцом с отжившим в искусстве, с так называемыми филистерами, то есть с теми, кто своей ограниченностью и отсталостью тормозил развитие музыки и представлял собой оплот консерватизма и бюргерства.
В октябре 1838 года композитор переехал в Вену, однако уже в начале апреля 1839 года вернулся в Лейпциг. В 1840 году Лейпцигский университет присвоил Шуману звание доктора философии. В том же году, 12 сентября в церкви в Шёнфельде состоялось бракосочетание Шумана с дочерью его учителя, выдающейся пианисткой — Кларой Вик. В год бракосочетания Шуманом было создано около 140 песен. Несколько лет совместной жизни Роберта и Клары протекли счастливо. У них родилось восемь детей. Шуман сопровождал жену в концертных поездках, а она, в свою очередь, часто исполняла музыку мужа. Шуман преподавал в Лейпцигской консерватории, учреждённой в 1843 году Ф. Мендельсоном.
В 1844 году Шуман вместе с супругой отправился в гастрольную поездку в Санкт-Петербург и Москву, где их принимали с большим почётом. В том же году Шуман переезжает из Лейпцига в Дрезден. Там впервые проявились признаки нервного расстройства. Лишь в 1846 году Шуман поправился настолько, что был в состоянии снова сочинять.
В 1850 году Шуман получил приглашение на должность городского директора музыки в Дюссельдорфе. Однако вскоре там начались размолвки, и осенью 1853 года контракт не был возобновлен. В ноябре 1853 года Шуман вместе с женой отправляется в путешествие по Голландии, где его и Клару принимали «с радостью и с почестями». Однако в том же году вновь стали проявляться симптомы болезни. В начале 1854 года после обострения болезни Шуман попытался покончить жизнь самоубийством, бросившись в Рейн, но был спасён. Его пришлось поместить в психиатрическую лечебницу в Энденихе близ Бонна, где он умер 29 июля 1856 года. Похоронен в Бонне.
